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几何 >> 微分几何 >> 曲线曲面论

Questions in category: 曲线曲面论 (Curve and surface theory).

空间曲线

Posted by haifeng on 2012-03-13 23:24:11 last update 2012-07-26 12:46:38 | Answers (0)

设 $\vec{γ} = \vec{γ} (s)$ 是一空间曲线. 记

$A = A (s) = (\begin{matrix} 0 & κ (s) & 0 \\ - κ (s) & 0 & τ (s) \\ 0 & - τ (s) & 0 \end{matrix}) .$

设曲线 ${\vec{γ}}_{j} = {\vec{γ}}_{j} (s)$ , $j = 1, 2, 3$ 是方程组

${\begin{cases} \frac{d {\vec{γ}}_{1}}{d s} = a_{1}^{i} {\vec{γ}}_{i}, \\ \frac{d {\vec{γ}}_{2}}{d s} = a_{2}^{i} {\vec{γ}}_{i}, \\ \frac{d {\vec{γ}}_{3}}{d s} = a_{3}^{i} {\vec{γ}}_{i} . \end{cases}$

在初始条件

${\vec{γ}}_{1} (0), {\vec{γ}}_{2} (0), {\vec{γ}}_{3} (0) 是一组标准正交基$

下的惟一解.

(i) 证明 ${\vec{γ}}_{1} (s), {\vec{γ}}_{2} (s), {\vec{γ}}_{3} (s)$ 对所有 $s$ 都是标准正交的.

(ii) 定义

$γ^{*} = γ_{0} + \int_{0}^{s} γ_{1} (s) d s$

证明

$γ_{1} (s) = v^{*} (s), γ_{2} (s) = n^{*} (s), γ_{3} (s) = b^{*} (s)$

其中 $v^{*} (s)$ , $n^{*} (s)$ , $b^{*} (s)$ 是相应于 $γ^{*} (s)$ 的切向量、法向量和副法向量.

并证明 $γ^{*} (s)$ 的曲率和挠率与原曲线 $γ (s)$ 的曲率、挠率一致. 即 $κ^{*} (s) = κ (s)$ , $τ^{*} (s) = τ (s)$ .